Buenos días. Hoy os vamos a mostrar nuestro último PBL de esta
evaluación, el PBL MÉTODO CIENTÍFICO.
Vamos a desarrollar la vida de Arquímedes, uno de los mejores físicos y
matemáticos que ha habido a lo largo de la historia. También os haremos una demostración
de su principio, aunque para ello, antes tendremos que explicarle brevemente.
Esperemos que os guste y os resulte útil.
VIDA DE ARQUÍMEDES
Arquímedes fue
un físico, ingeniero, inventor, astrónomo y matemático griego que nació en Siracusa,
“Italia”, 287 a.C. - 212 a.C. Se considera que Arquímedes fue uno de los
matemáticos más grandes de toda la historia.
Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los
científicos más importantes de la antigüedad clásica. Realizó avances en física
como por ejemplo: sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación
del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras
máquinas, como el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos
modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar
máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego
utilizando una serie de espejos. También se le considera uno de los matemáticos
más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia. Usó el método
exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio
de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número
Pi.4 También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los
volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar
números muy largos.
Pero a diferencia de sus inventos, sus escritos matemáticos de Arquímedes
no fueron muy conocidos en la antigüedad, pero son prueba del carácter
polifacético de su saber científico.
Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214–212 a. C.), cuando fue
asesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se
le hiciese ningún daño
DESCUBRIMIENTOS E INVENTOS DE ARQUÍMEDES
Arquímedes no destacó en la ciencia por desarrollar únicamente el
principio de Arquímedes, si no que realizó otros descubrimientos e inventos
clave para el desarrollo del mundo. Aquí están algunos de ellos.
Arquímedes estableció los principios
sobre la palanca. Es universalmente conocida su frase “Dadme un punto de apoyo
y moveré el mundo” para indicar que la palanca es capaz de multiplicar la
fuerza. La palanca puede levantar cualquier peso, por muy grande que este sea,
siempre y cuando se encuentre un punto de apoyo adecuado.
Un Tornillo de Arquímedes es una
máquina gravimétrica utilizada para elevación de agua, harina o cereales. Fue
inventado en el siglo III a. C. por Arquímedes, del que recibe su nombre,
aunque existen hipótesis de que ya era utilizado en el Antiguo Egipto. Se basa en un tornillo que se hace
girar dentro de un cilindro hueco, situado sobre un plano inclinado, y que
permite elevar el agua situada por debajo del eje de giro.
3. Esta es una de las más conocidas anécdotas de Arquímedes. El
rey le mandó que calculara el volumen de una corona, y por tanto un elemento
irregular, para determinar si estaba hecha de oro o de plata. Arquímedes tenía que resolver el
problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un
cuerpo regular para calcular su masa y volumen, a partir de ahí, su densidad. Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en
la bañera cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría ser
usado para determinar el volumen de la corona. Debido a que el agua no se puede
comprimir, la corona, al ser
sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al
dividir el peso de la corona por el volumen de agua desplazada se podría
obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor que la
densidad del oro si otros metales menos densos le hubieran sido añadidos.
APLICACIONES MATEMÁTICAS DE ARQUÍMEDES
Si bien la faceta de inventor de
Arquímedes es quizás la más popular, también realizó importantes contribuciones
al campo de las matemáticas.
Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma
similar al moderno cálculo integral. A través de la reducción al absurdo , era capaz de contestar problemas mediante
aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites
entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el
nombre de método exhaustivo, y fue el sistema que utilizó para aproximar el
valor del número π
Arquímedes demostró que el área del segmento parabólico de la figura superior es igual a 4/3 de la del
triángulo inscrito de la figura inferior.
En su obra
sobre La cuadratura de la Parábola, Arquímedes probó que el área
definida por una parábola y una línea recta equivalía exactamente a 4/3
el área del correspondiente triángulo inscrito. Para obtener ese resultado,
desarrolló una serie geométrica infinita con una razón común de 1/4:
El
primer término de esta suma equivale al área del triángulo, el segundo sería la
suma de las áreas de los dos triángulos inscritos en las dos áreas delimitadas
por el triángulo y la parábola, y así sucesivamente. Esta prueba utiliza una variación
de la serie infinita 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +..., cuya suma se demuestra que
equivale a 1/3.
En otra de sus obras Arquímedes se
enfrentó al reto de intentar calcular el número de granos de arena que podía
contener el universo. Para hacerlo, desafió la idea de que el número de granos
fuera tan grande como para poder ser contados. Escribió:
‘’ Existen algunos, Rey Gelón, que
creen que el número de granos de arena es infinito en multitud; y cuando me
refiero a la arena me refiero no sólo a la que existe en Siracusa y el resto de
Sicilia sino también la que se puede encontrar en cualquier región, ya sea
habitada o deshabitada’’
Para poder afrontar el problema,
Arquímedes diseñó un sistema de cálculo basado en la miríada. Se trata de una
palabra que procede del griego y que servía para hacer referencia al número
10.000. Propuso un sistema en el que se utilizaba una potencia de una miríada
de miríadas (100 millones) y concluía que el número de granos de arena
necesarios para llenar el universo sería de 8×1063.53
Principio de Arquímedes
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido
experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido
desalojado.
Es decir, que el empuje es igual al agua desalojada.
La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se
indica en las figuras:
1. El estudio de las
fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
2. La sustitución de dicha
porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.
Nosotros en
el laboratorio hemos hecho una comprobación de este principio de la siguiente
manera:
1. Llenar la
probeta hasta una medida exacta. Anotar
la medida
2. Escoger una pesa y colgarla del dinamómetro.Anotar la medida
3. Introducir
la pesa en el agua y anotar la medida actual del dinamómetro y de la probeta.
4. Calcular los cambios que se han
producido.
5. Pasar los
ml variantes a newton
6. Comprobar
que los newton variantes del dinamómetro sean iguales que los de la probeta. Si
en ese caso es correcto, el principio es correcto.
MARCA DE DINAMÓMETRO SIN
AGUA – MARCA DEL DINAMÓMETRO CON AGUA
0,5 -- 0,4
=
0,1 Newton es el
empuje
MARCA DE LA PROBETA CON PESO
-- MARCA
DE LA PROBETA SIN PESO
67 -- 60 =
7 ml es el agua
desalojada
7ml = 7 cm3 = 7g
1000g / 9.8 N = 7 g / x N X
= 0.0686
¿Se cumple el principio de Arquímedes?
Si, se cumple porque 0,1 = ≈0,1
Pero se nos
planteó un problema, ya que no sabíamos si nuestro dinamómetro estaba marcando bien
o por el contrario tenía algún error. Para ello cogimos la misma pesa de 50g, y
calculamos los newton que nos tendría que resultar al medirlo con el
dinamómetro:
9,8 N / 1000g = x N / 50g
X
= 0.49 N
El dinamómetro tenía que marcar 0.49N y el nuestro marcaba
0,5 porque su precisión era de 0,1 N, así que si, marca bien.
Para asegurarnos, y realizar la medición de manera más
concreta, sin redondear tanto, un segundo
día realizamos otra medida, con un dinamómetro que tenía una precisión de 0,02:
MARCA DE DINAMÓMETRO SIN
AGUA – MARCA DEL DINAMÓMETRO CON AGUA
0,44 -- 0,4
=
0,04 Newton es el
empuje
MARCA DE LA PROBETA CON PESO
-- MARCA
DE LA PROBETA SIN PESO
64 -- 60 =
4 ml es el agua
desalojada
4ml = 4 cm3 = 4g
1000g / 9.8 N = 4 g / x N X
= 0.0392 N
¿Se cumple el principio de Arquímedes?
Si, se cumple porque 0,04 N = ≈0,04 N
Por tanto, el Principio de Arquímedes se cumple en estos dos
casos que hemos llevado acabo. Espero que os sirva de ayuda. Buenos días.
